a. Ogólny opis doświadczenia

Jak to zostało opisane wcześniej (Odkrycie jądra atomowego i model Rutherforda budowy atomu) pierwsze doświadczenie rozpraszania cząstek alfa na złotej foli, pod kierownictwem Rutherforda, przeprowadzili Marsden i Geiger.

Doświadczenie sprowadza się do następującego schematu:

Źródło: http://sun.menloschool.org/~dspence/chemistry/atomic/ruth_expt.html 

Źródło promieniotwórcze emituje strumień cząstek α. Strumień uderza w cienką złotą folie (~0,00004 cm), następnie detektor określa kąt pod jakim cząstki zostały rozproszone na foli.

Jeżeli zakładamy, że materia ma masę równomiernie rozłożoną, po uderzeniu strumienia cząstek alfa, przy odpowiednio wysokich energiach, cząstki te powinny „przebić” materię i zaobserwowalibyśmy na ekranie detektora jedno skupisko scyntylacji.

Obserwacja jednak temu przeczy – widzimy, że niewielka część cząstek przechodzących przez folie uderza w detektor pod znacznie różnymi kątami a i zdarzają się takie, które odbijają się od folii tak jakby napotkały centralnie na swej drodze masywną przeszkodę.

Co więcej można zaobserwować, że w zasadzie większość wyemitowanych cząstek przechodzi przez folie tak jakby stanowiła ona pustą przestrzeń.

Na tych przesłankach oparta jest teoria Rutherforda istnienia jądra w atomie.

Pierwotne ustawienie zestawu eksperymentalnego możemy poddać pewnym modyfikacjom i uzyskamy w ten sposób alternatywę, której zakres pomiarowy, choć ograniczony w stosunku do pierwotnego układu, pozwoli na otrzymanie danych dzięki którym można przeprowadzić równie dokładną analizę. Rzecz sprowadza się do zaobserwowania faktu, że aby zbadać dynamikę zależności ilości cząstek ulegających detekcji od kąta ich odchylania na złotej folii wystarczy nam znacznie mniejszy zakres kątowy niż w pierwotnie zastosowanym rozmieszczeniu aparatury eksperymentu.

W zaproponowanym ustawieniu zestawu eksperymentalnego, które stanowi część praktyczną niniejszej pracy, źródło promieniowania znajduje się na ruchomych torach naprzeciwko detektora, którego położenie jest niezmienne. Pomiędzy detektorem a źródłem promieniowania znajduje się tarcza skonstruowana w ten sposób, że folia czyli obszar w którym cząstki α są odchylane stanowi pierścień, o środku w punkcie symetrycznym do środka źródła. Pozostała część tarczy stanowi gruba warstwa aluminium, która nie pozwala przejść cząstkom w kierunku detektora. Źródło i tarcza są ruchome przy czym ich ruch jest ściśle ze sobą powiązany w ten sposób, że odległość pomiędzy źródłem i tarczą jest zawsze taka sama jak miedzy tarczą a detektorem. Oznacza to, że prędkość z jaką przemieszcza się źródło względem detektora jest dwa razy większa niż prędkość tarczy względem detektora. W efekcie skracając dystans między źródłem i detektorem badamy natężenie cząstek α rozpraszanych pod coraz większym kątem.

Źródło:instrukcja Phywe Rutheford experiment LEP 5.2.21

b. Podstawy teoretyczne

i. Przekrój czynny na oddziaływanie

Do teoretycznego opisu sposobu wyznaczania rozmiaru jądra atomu stosuje się pojęcie przekroju czynnego na oddziaływanie. W przypadku eksperymentu Rutherforda przekrój czynny na oddziaływanie stanowi nijako punkt wyjścia.

Aby wyznaczyć rozmiar atomu bądź innego obiektu mikroskopowego, nie możemy zastosować żadnej metody bezpośredniego pomiaru. W związku z tym badanie takie należy przeprowadzić metodą pośrednią.

Przykładem, który ilustruje problem jest następująca sytuacja w świecie makroskopowym. Stoimy przed ścianą lasu i wystrzeliwujemy w jego kierunku serie pocisków. Prawdopodobieństwo, że wystrzelony pocisk przejdzie przez las bez odchylenia jest tym większe im grubość drzew i gęstość lasu jest mniejsza. Powtarzając wielokrotnie wystrzeliwanie pocisków możemy ustalić stosunek liczby pocisków odchylonych do liczby pocisków, które przeszły przez las nieodchylone. W ten sposób, o ile znamy gęstość lasu, możemy wyznaczyć grubość drzew (a ściślej przekrój czynny na oddziaływanie).

Powyższy przykład można przełożyć na sytuacje w świecie mikroskopowym. Obserwując zachowanie cząstek przed i po zderzeniu jesteśmy w stanie określić ich rozmiary.

Rozpatrzmy następującą sytuację:

Cząstki o promieniu r₁ zderzają się z cząstką o promieniu r₂. Odchylenie od pierwotnego kierunku nastąpi gdy zderzenie zachodzi w obszarze σ = (r₁ + r₂)²π. Obszar σ stanowi, przy jednoczesnym rozpatrywaniu odchyleń obu cząstek biorących udział w zderzeniu, przekrój czynny.

Prawdopodobieństwo W zderzenia możemy zapisać jako stosunek sytuacji w których dochodzi do zderzenia do całkowitej ilości możliwych sytuacji (zaistnienie bądź niezaistnienie zderzenia), a to sprowadza się do ilorazu powierzchni wszystkich przekrojów czynnych na oddziaływanie w objętości wiązki i całkowitej powierzchni warstwy wystawionej na zderzenia.

Powyższe twierdzenie będzie prawdziwe przy założeniu, że powierzchnie przekrojów czynnych w warstwie nie przekrywają się, co spełnione będzie gdy grubość warstwy będzie dostatecznie mała.

Jeżeli rozpatrzymy warstwę o grubości L, to w celu obliczenia liczby atomów odchylanych w tej warstwie musimy podzielić ją najpierw na cienkie warstewki o grubości Δx.

Jeżeli przemnożymy następnie ilość atomów N(x) wchodzących do warstwy w miejscu x z prawdopodobieństwem zderzenia otrzymamy ilość odchylonych atomów po przebyciu odległości Δx.

W celu uściślenia pojęcia prawdopodobieństwa, biorąc pod uwagę definicję jaka została  przyjęta powyżej, możemy za pomocą modelu składającego się z cienkich warstw zdefiniować kolejne pojęcia.

Występująca w liczniku prawdopodobieństwa powierzchnia wszystkich przekrojów czynnych na oddziaływanie w objętości wiązki będzie iloczynem liczby atomów w danej objętości i ich przekrojów czynnych. Otrzymujemy zatem w liczniku prawdopodobieństwa: iloczyn gęstości cząstek w warstwie – n, powierzchni warstwy – a i jej grubości – Δx, oraz przekroju czynnego σ; w mianowniku: powierzchnię A. Ilość odchylonych atomów będzie wynosiła zatem:

Przechodząc do nieskończenie małych przyrostów warstw:

Aby otrzymać ilość odchylonych cząstek, całkujemy powyższe równanie:

Przekształcając to wyrażenie i przyjmując, że stała całkowania  jest liczbą cząstek padających na warstwę w punkcie x = 0, dochodzimy do liczby cząstek, które zachowują pierwotny kierunek po przejściu warstwy L:

Oraz liczbę cząstek odchylonych:

Znając zatem gęstość danej warstwy i jej grubość, oraz liczbę cząstek do warstwy „wchodzących” i z niej „wychodzących”, możemy wyznaczyć wartość przekroju czynnego na oddziaływanie. Ponieważ σ = (r₁ + r₂)²π wyznaczymy tym samym wielkość r₁ + r₂. Jeżeli promienie r₁ i r₂ są sobie równe, bądź rozmiar cząstki wystrzeliwanej możemy przyjąć za zaniedbywalnie niewielki w stosunku do cząstek w tarczy, otrzymujemy tym samym rozmiar cząstek biorących udział w doświadczeniu.

ii. Wzór Rutherforda na rozpraszanie

Eksperyment Rutherforda doprowadził do stworzenia modelu atomu i następujących konkluzji według których:
– atomy posiadają jądro o promieniu rzędu 10^-15 metra
– jądro skupia w sobie prawie cała masę atomu (zderzenie między cząstką α i dużo lżejszym elektronem nie wpływa na jej tor lotu)
– jądro atomu ma dodatni ładunek Ze gdzie Z jest numerem miejsca pierwiastka w układzie okresowym
– wokół jądra panuje pole kulombowskie o natężeniu w odległości r :

Eksperyment początkowo miał sprawdzić czy cząstki alfa nie są rozpraszane pod znacznymi kątami – miał jedynie potwierdzić model atomu jako „ciastka z rodzynkami”. Uzyskane wyniki jak wiadomo zweryfikowały ten pogląd. Istotne jest to, że w eksperymencie nie badano, jak w przypadku badań nad przekrojem czynnym, natężenia wiązki cząstek alfa przechodzącej przez folię na wprost ale natężenie wiązki w zależności od kąta rozpraszania.

Przyjęcie, że wokół jądra panuje pole kulombowskie było podstawą do dalszych rozważań Rutherforda nad otrzymaną zależnością natężenia odchylanych cząstek od kąta pod jakim są odchylane.

Przechodząc do analizy i wyprowadzenia wzoru Rutherforda na rozpraszanie najpierw wprowadzimy tzw. parametr zderzenia b, czyli najmniejszą prostopadłą składową odległości na jaką cząstka α może zbliżyć się do jądra. Innymi słowy parametr zderzenia określa odległość w jakiej cząstka α minęłaby jądro gdyby nie działały siły kulombowskie. W dalszych rozważaniach sprawdzimy w jaki sposób kąt odchylenia θ zależy od tego parametru.

Powyższy rysunek obrazuje sytuację którą opiszemy. Cząstka α w punkcie A porusza się z prędkością V. Zbliżając się do jądra zaczyna na nią oddziaływać odpychająca siła kulombowska F:

gdzie:
Ze – ładunek jadra
e – ładunek elementarny
ε₀ – przenikalność elektryczna próżni
r – odległość między jądrem i cząstką α

W punkcie M siła działająca na cząstkę będzie miała następujące składowe:

– czyli składową prostopadłą do pierwotnego kierunku ruchu

 – czyli składową równoległą do pierwotnego kierunku ruchu

Należy zaznaczyć, że kąt Φ jest kątem pomiędzy kierunkiem pierwotnym cząstki i promieniem wodzącym r chwilowego położenia cząstki.

W dalszych obliczeniach posłużymy się prawem zachowania momentu pędu. Umieszczając początek układu współrzędnych w środku jądra i biorąc pod uwagę to, że działająca siła jest siłą radialną, a zatem jej moment wynosi zero otrzymujemy, że moment pędu jest stały. To pozwala nam, stosując współrzędne biegunowe (r, Φ), przyrównać momenty w punktach A i M:

Z czego otrzymujemy:

Rozpatrzmy następnie równanie ruchu Newtona w kierunku prostopadłym:

W tym równaniu zastępujemy 1/r² prawą stroną poprzedniego równania:

Dla ułatwienia wprowadźmy następujące oznaczenie:

Nasze równanie całkujemy po czasie:

W celu ustalenia granic całkowania przyjmujemy, że w punkcie A cząstka znajduje się nieskończenie daleko od jądra, a co za tym idzie nie działa na nią siła kulombowska w związku z czym  i kąt .

Mając na uwadze dążenie do powiązania parametru zderzenia b z kątem odchylenia zauważmy, że oddalając punkt B do nieskończoności możemy sformułować między kątem Φ i kątem θ następującą zależność: .

Korzystając z prawa zachowania energii zauważamy, że prędkości w punkcie A i B muszą być sobie równe gdyż w dostatecznie dużej odległości od jądra zanika energia potencjalna. W ten sposób możemy ustalić, że składowa prostopadła prędkości będzie w punkcie B wynosiła:

Skracając i podstawiając odpowiednie granice całkowania otrzymujemy:

Po scałkowaniu:

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

Otrzymujemy związek między parametrem zderzenia b i kątem odchylenia θ:

Z uwagi na to, że w rzeczywistości nie jest możliwe zmierzenie liczby cząstek odchylonych pod konkretnym kątem θ a jedynie w pewnym zakresie między θ a θ + dθ, także i w dalszych rozważaniach nie możemy brać pod uwagę tylko parametru zderzenia b i musimy uwzględnić przedział między b i b+db, który odpowiada mierzonemu zakresowi odchylanych kątów. W tym celu różniczkując powyższe równanie otrzymamy związek między dθ i db:

Kontynuując rozważania, musimy uwzględnić fakt, że w rozpatrywanym przypadku mamy do czynienia z symetrią obrotową wokół osi przechodzącej przez jądro tarczy. Tu dochodzimy do ustalenia przekroju czynnego, który będzie pierścieniem o promieniach b i b+db. Wiązka przechodząca przez ten pierścień będzie rozpraszana w obszar kątowy między θ a θ – |dθ|.

Przekrój czynny stanowiący efektywną powierzchnię na podstawie wcześniejszych rozważań będzie stanowiła różniczka:

Rozważając dalej obszar całej foli w kierunku której wystrzeliwujemy cząstki zakładając, że ma ona powierzchnię A, grubość D oraz jej gęstość to N atomów/cm³, możemy napisać, że całkowita efektywna powierzchnia wszystkich atomów to:

Należy pamiętać, że nasze rozważania będą prawdziwe gdy przekroje czynne atomów w foli nie będą się przekrywać, a to oznacza że zastosowana folia musi być cienka – jej grubość nie powinna przekraczać 10 000 warstw atomowych.

Następnym krokiem w naszej analizie jest wyznaczenie prawdopodobieństwa, że wystrzeliwana cząstka trafi w efektywną powierzchnię w folii. Prawdopodobieństwo to określa nam stosunek całkowitej efektywnej powierzchni do powierzchni całkowitej foli:

Zakładamy, że w kierunku tarczy wystrzeliwujemy n cząstek α. Liczbę dn’ cząstek, które trafią w naszą powierzchnię efektywną i zostaną odchylone do obszaru kątów od θ do
θ – |d θ| możemy zapisać jako iloczyn pierwotnej liczby cząstek i prawdopodobieństwa określonego powyżej:

Jak wcześniej zostało to zauważone, cząstka przelatuje przez pierścień a zatem lecąc dalej po odchyleniu przejdzie przez leżący na sferze pierścień o powierzchni:

Co można zapisać:

Teraz musimy uwzględnić fakt, że detektor, którym badamy rozproszenie będzie wycinał z pierścienia  jedynie niewielki segment zwany kątem bryłowym . Aby ustalić liczbę rzeczywiście uchwyconych przez detektor cząstek mnożymy liczbę cząstek odchylonych do obszaru  przez stosunek kąta bryłowego obejmowanego przez detektor do pierścienia :

Ostatecznie podstawiając do tego wzoru wartości otrzymane wcześniej, otrzymujemy pełny wzór Rutherforda:

gdzie:

– liczba cząstek rozpraszanych pod kątem θ w kąt bryłowy dΩ

 – liczba cząstek padających

 – liczba atomowa

 – ładunek elementarny

 – grubość folii

 – liczba atomów/cm³ w folii

 – kąt bryłowy obejmowany przez detektor

 – przenikalność elektryczna próżni

 – masa rozpraszanych cząstek

 – prędkość padających na folie cząstek

 – kąt odchylenia.

iii. Przekształcenie wzoru na potrzeby eksperymentu

W ustawieniu alternatywnym aparatury pomiarowej, opisanym na początku rozdziału, nie można zastosować bezpośrednio wzoru Rutherforda ponieważ potrzebne są pewne jego modyfikacje odzwierciedlające dokonane zmiany w symetrii układu.

Na początek przeanalizujmy modelowy eksperyment i ustalmy wszystkie zmienne tak abyśmy byli w stanie wyznaczyć ich wartości.

W ostateczności wyznaczymy wzór, który zawierał będzie jedynie natężenie cząstek i odległość między źródłem promieniowania a detektorem dla zastosowanego alternatywnego ustawienia eksperymentalnego.

Źródło:instrukcja Phywe Rutheford experiment LEP 5.2.21

W pierwszym kroku zastąpmy masę i prędkość we wzorze Rutherforda energią cząstki α równą mv²/2e oraz przenieśmy liczbę cząstek n padającą na folie na prawą stronę:

W modelowym przypadku zauważmy, że liczbę n cząstek padających na folię można zapisać jako:

gdzie:

 – aktywność źródła

 – obszar foli poddawany napromieniowaniu

Ponadto rozpatrując obszar  czyli kąt bryłowy obejmujący detektor zauważmy, że nie pokrywa się on z obszarem aktywnym detektora A_D. Aby mieć pewność co do tego, że otrzymaną wartość wykrytych cząstek opisujemy poprawnie wzorem, w miejsce kąta bryłowego podstawimy:

Tak oto, wzór Rutherforda przyjmuje formę:

Rozpatrzmy następnie alternatywne rozmieszczenie eksperymentu i wprowadźmy oznaczenia:

Źródło:instrukcja Phywe Rutheford experiment LEP 5.2.21

W tym układzie pomiarowym, musimy uwzględnić pewne poprawki uwzględniające zmiany symetrii eksperymentu.

Zaczynając od obszaru aktywnego detektora – zauważmy, że ulec on musi zmniejszeniu z uwagi na to, iż cząstki padają w ten obszar pod kątem. Zmiana wielkości obszaru aktywnego będzie proporcjonalna do cosinusa połówki kąta odchylającego:

Podobnie grubość foli, czyli odległość jaką w tej foli przebywa cząstka α z uwagi na to, że pada na nią nie prostopadle a pod kątem zwiększa się:

Obszar foli poddawany promieniowaniu zmniejsza się:

Zastępując wartościami primowanymi wartości z przekształconego wzoru Rutherforda oraz zauważając, że r₁=r₂=r/2 otrzymujemy:

Dalej wyznaczmy wartości sinusa i cosinusa połówki kąta θ:

Zapiszmy:

oraz:

W ostateczności dochodzimy zatem do zależności natężenia odchylanych cząstek od zmieniającej się odległości l między źródłem i detektorem:

c. Wyniki doświadczenia

W wyniku doświadczenia otrzymuje się charakterystyczną krzywą zależności natężenia od kąta odchylenia – zależność ta jest opisana przez odwrotność czwartej potęgi sinusa połowy kąta rozpraszania.

W przypadku alternatywnego rozmieszczenia eksperymentalnego, jak to opisano powyżej, wzór Rutherforda na rozpraszanie przyjmuje nieco inną formę. Zależność zliczeń od kąta odchylenia jest proporcjonalna do cosinusa połówki kąta. Wynika to z faktu zmiany w trakcie trwania eksperymentu parametrów związanych z natężeniem wiązki cząstek α.

Analizując otrzymane przez zespół Rutherforda wyniki wywnioskowano, że zależność wynikająca z wzoru na rozpraszanie jest spełniona dla cząstek α nawet o energiach rzędu 5 MeV oraz kąta rozproszenia 150^o. Sytuacja taka odpowiada parametrowi zderzenia
6·10 ^-15 m. Wnioskiem z tego płynącym jest to, że potencjał kulombowski jest w tym zakresie jedynym odpowiedzialnym za zachowanie się cząstek α. Na tej podstawie można stwierdzić, że rozmiar jądra wynosi co najwyżej 6·10 ^-15 m.

Na podstawie zgodności wzoru z doświadczeniem możemy określić również wartość ładunku jądra Ze. Na podstawie tego eksperymentu, zmieniając jedynie folie, udowodnione zostało, że Z jest liczbą zajmowana przez pierwiastek w układzie okresowym.

Przy rozpraszaniu szybkich cząstek α, czyli takich o wysokich energiach (powyżej 6 MeV) oraz dużych kątach rozpraszania czyli zderzeniach prawie centralnych dochodzimy do anomalnego rozpraszania Rutherforda. W tych warunkach siły kulombowskie przestają odgrywać znaczenie a znacznie większy wpływ na zachowanie cząstki α mają siły jądrowe. Badając przy jakim parametrze zderzenia zachowanie anomalne zaczyna odgrywać role jednoznacznie można stwierdzić, że rozmiar jądra jest rzędu 10 ^-15 m.